Давайте разберём каждое предложение и заполним пропуски модальным глаголом "have to" в соответствующей форме.
Jade can't come out tonight. She has to look after her little brother.
В данном случае используется форма "has to" для настоящего времени, чтобы указать на необходимость, актуальную в данный момент.
I didn't have enough money, so I had to borrow some from Yuri.
Здесь используется прошедшая форма "had to", чтобы указать на необходимость, возникшую в прошлом.
It's raining really hard, but luckily we don't have to go out this evening.
Поскольку речь идёт о ситуации в настоящем и отсутствии необходимости, используется форма "don't have to".
To start the laptop you have to press the power button.
Это общее утверждение, объясняющее, что нужно делать. Используется форма "have to".
I learnt a little Italian, but everyone spoke English, so I didn't have to use it.
Здесь речь идет о необходимости, которая отсутствовала в прошлом. Поэтому используется отрицательная форма "didn't have to".
Did you have to go to piano lessons when you were younger?
Вопросительное предложение в прошедшем времени требует использования формы "did" для образования вопроса, после чего используется "have to".
Таким образом, все пропуски заполнены в соответствии с контекстом и временными формами.